Упр.751 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 751. В треугольнике проведены три медианы. Докажите, что они разбивают треугольник на шесть равновеликих треугольников.

Подробный ответ

Обозначим точки пересечения медиан как на рисунке: $$AE$$, $$BF$$ и $$CN$$ — медианы треугольника $$ABC$$, а точка $$O$$ — их пересечение.

Рассмотрим треугольник $$AOC$$. Так как $$AE$$ и $$CN$$ — медианы, то точка $$O$$ делит каждую медиану в отношении $$2:1$$, считая от вершины. Следовательно, треугольники $$AOF$$ и $$COF$$ имеют равные площади:

$$S_{AOF}=S_{COF}.$$

Аналогично в треугольнике $$AOB$$ получаем:

$$S_{AON}=S_{BON}.$$

И в треугольнике $$BOC$$:

$$S_{BOE}=S_{COE}.$$

Теперь рассмотрим весь треугольник $$ABC$$. Поскольку $$F$$, $$E$$ и $$N$$ — середины сторон, то медианы делят соответствующие треугольники пополам по площади:

$$S_{ABF}=S_{CBF}=\frac{1}{2}S_{ABC},$$

$$S_{BEA}=S_{CEA}=\frac{1}{2}S_{ABC},$$

$$S_{ANC}=S_{BNC}=\frac{1}{2}S_{ABC}.$$

Из разбиения треугольника $$ABC$$ на части получаем:

$$S_{ABC}=S_{ABF}+S_{BNC}-S_{BON}+S_{COF}.$$

Так как $$S_{ABF}=S_{BNC}=\frac{1}{2}S_{ABC}$$, то

$$S_{ABC}=S_{ABC}-S_{BON}+S_{COF},$$

откуда

$$S_{BON}=S_{COF}.$$

Но ранее было установлено, что $$S_{AON}=S_{BON}$$ и $$S_{AOF}=S_{COF}$$, значит

$$S_{AON}=S_{BON}=S_{BOE}=S_{COE}=S_{AOF}=S_{COF}.$$

Следовательно, три медианы разбивают треугольник на шесть равновеликих треугольников.