Упр.750 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

На стороне $$AC$$ треугольника $$ABC$$ отмечена точка $$M$$ так, что $$\frac{AM}{MC}=\frac{m}{n}$$. Докажите, что $$\frac{S_{ABM}}{S_{CBM}}=\frac{m}{n}$$.

Так как точка $$M$$ лежит на стороне $$AC$$, то

$$AC=AM+MC.$$

По условию

$$\frac{AM}{MC}=\frac{m}{n},$$

значит, можно представить

$$AM=\frac{m}{n}MC.$$

Тогда

$$AC=\frac{m}{n}MC+MC=\frac{m+n}{n}MC,$$

откуда

$$MC=\frac{n}{m+n}\,AC,$$

и, следовательно,

$$AM=\frac{m}{m+n}\,AC.$$

Пусть $$BH$$ — высота треугольника $$ABC$$. Тогда высоты треугольников $$ABM$$ и $$CBM$$, опущенные на прямую $$AC$$, равны $$BH$$.

Найдём площади:

$$S_{ABM}=\frac{1}{2}\cdot AM \cdot BH=\frac{1}{2}\cdot \frac{m}{m+n}\,AC\cdot BH,$$

$$S_{CBM}=\frac{1}{2}\cdot CM \cdot BH=\frac{1}{2}\cdot \frac{n}{m+n}\,AC\cdot BH.$$

Тогда

$$\frac{S_{ABM}}{S_{CBM}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot \frac{m}{m+n}\,AC\cdot BH}{\frac{1}{2}\cdot \frac{n}{m+n}\,AC\cdot BH}=\frac{m}{n}.$$

Ответ

$$\frac{S_{ABM}}{S_{CBM}}=\frac{m}{n}.$$