Упр.750 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 750. На стороне АС треугольника АВС отмечена точка M так, что АМ/MC = m/n. Докажите, что SABM/SCBM = m/n.

Так как точка $M$ лежит на стороне $AC$, то

$$AC=AM+MC.$$

По условию

$$\frac{AM}{MC}=\frac{m}{n},$$

значит, можно представить

$$AM=\frac{m}{n}MC.$$

Тогда

$$AC=\frac{m}{n}MC+MC=\frac{m+n}{n}MC,$$

откуда

$$MC=\frac{n}{m+n}\,AC,$$

и, следовательно,

$$AM=\frac{m}{m+n}\,AC.$$

Пусть $BH$ — высота треугольника $ABC$. Тогда высоты треугольников $ABM$ и $CBM$, опущенные на прямую $AC$, равны $BH$.

Найдём площади:

$$S_{ABM}=\frac{1}{2}\cdot AM \cdot BH=\frac{1}{2}\cdot \frac{m}{m+n}\,AC\cdot BH,$$

$$S_{CBM}=\frac{1}{2}\cdot CM \cdot BH=\frac{1}{2}\cdot \frac{n}{m+n}\,AC\cdot BH.$$

Тогда

$$\frac{S_{ABM}}{S_{CBM}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot \frac{m}{m+n}\,AC\cdot BH}{\frac{1}{2}\cdot \frac{n}{m+n}\,AC\cdot BH}=\frac{m}{n}.$$

Ответ

$$\frac{S_{ABM}}{S_{CBM}}=\frac{m}{n}.$$