Упр.75 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1) по двум сторонам и углу между ними;
2) по двум диагоналям и стороне;
3) по стороне, диагонали и углу между ними.

Параллелограмм можно построить по данным элементам, используя свойства его сторон и диагоналей.

1) По двум сторонам и углу между ними.

Построим угол $$M$$, равный данному углу $$O$$. На одной стороне угла отложим отрезок $$MN=AB$$, а на другой — отрезок $$MT=CD$$. Через точку $$N$$ проведём прямую, параллельную лучу $$MT$$, а через точку $$T$$ — прямую, параллельную лучу $$MN$$. Их пересечение обозначим буквой $$E$$. Тогда четырёхугольник $$MNET$$ — параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны.

2) По двум диагоналям и стороне.

Построим отрезок $$MN$$, равный отрезку $$EF$$. Найдём середину отрезка $$MN$$ — точку $$O$$. Через точку $$O$$ проведём окружности радиусов $$AB/2$$ и $$CD/2$$; их пересечение обозначим через $$K$$ и $$T$$ так, чтобы $$OK$$ и $$OT$$ лежали на одной прямой с $$O$$ и были направлены в разные стороны. Тогда $$O$$ — середина обеих диагоналей, а значит, построенный четырёхугольник является параллелограммом.

3) По стороне, диагонали и углу между ними.

Построим угол $$M$$, равный данному углу $$O$$. На одной стороне угла отложим отрезок $$MN=AB$$, а на другой — отрезок $$MK=CD$$. Из точки $$K$$ проведём окружность радиуса $$AB$$, а из точки $$M$$ — окружность радиуса $$KN$$. Точку их пересечения обозначим $$T$$. Тогда $$KT=AB$$ и $$MT=KN$$, следовательно, четырёхугольник $$NKTM$$ имеет попарно равные противоположные стороны, значит, это параллелограмм.

Ответ

Параллелограмм строится по указанным данным тремя способами: по двум сторонам и углу между ними; по двум диагоналям и стороне; по стороне, диагонали и углу между ними.