Упр.749 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 749. Докажите, что медиана треугольника разбивает его на два равновеликих треугольника.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольник $$ABC$$, в котором $$BM$$ — медиана, а $$BH$$ — высота.

Так как $$BM$$ — медиана, то точка $$M$$ является серединой стороны $$AC$$, значит

$$AM=CM=\frac{AC}{2}.$$

Площадь треугольника $$ABM$$ выразим через основание $$AM$$ и высоту $$BH$$:

$$S_{ABM}=\frac{1}{2}\cdot AM\cdot BH=\frac{1}{2}\cdot \frac{AC}{2}\cdot BH=\frac{1}{4}AC\cdot BH.$$

Аналогично для треугольника $$CBM$$:

$$S_{CBM}=\frac{1}{2}\cdot CM\cdot BH=\frac{1}{2}\cdot \frac{AC}{2}\cdot BH=\frac{1}{4}AC\cdot BH.$$

Следовательно,

$$S_{ABM}=S_{CBM}.$$

Значит, медиана треугольника разбивает его на два равновеликих треугольника.