Упр.748 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 748. Докажите, что если высота одного треугольника равна высоте другого треугольника, то площади данных треугольников относятся как их стороны, к которым проведены эти высоты.

Подробный ответ

В треугольнике $$ABC$$ площадь выражается через основание $$AC$$ и высоту $$BE$$:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC \cdot BE.$$

В треугольнике $$MNK$$ площадь выражается через основание $$MK$$ и высоту $$NF$$:

$$S_{MNK}=\frac{1}{2}\cdot MK \cdot NF.$$

По условию $$BE=NF$$. Тогда

$$ \frac{S_{ABC}}{S_{MNK}} = \frac{\frac{1}{2}\cdot AC \cdot BE}{\frac{1}{2}\cdot MK \cdot NF} = \frac{AC \cdot BE}{MK \cdot NF} = \frac{AC}{MK}. $$

Следовательно, площади данных треугольников относятся как стороны, к которым проведены эти высоты.