Упр.747 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 747. Даны прямая l и параллельный ей отрезок АВ. Докажите, что все треугольники АХВ. где X — произвольная точка прямой l, равновелики.

Подробный ответ

Пусть из точки $$X$$ и из точки $$X’$$ на прямой $$l$$ опущены перпендикуляры $$XH$$ и $$X’H’$$ на прямую $$AB$$.

Так как $$AB \parallel l$$, то $$XH \perp AB$$ и $$X’H’ \perp AB$$. Следовательно, $$XH$$ и $$X’H’$$ — расстояния от точек $$X$$ и $$X’$$ до прямой $$AB$$.

Рассмотрим прямоугольник $$XHH’X’$$. В нём противоположные стороны равны, значит

$$XH=X’H’.$$

Тогда площади треугольников $$ABX$$ и $$ABX’$$ равны:

$$ S_{ABX}=\frac{1}{2}\cdot AB \cdot XH, $$

$$ S_{ABX’}=\frac{1}{2}\cdot AB \cdot X’H’. $$

Так как $$XH=X’H’$$, то

$$S_{ABX}=S_{ABX’}.$$

Значит, все треугольники $$ABX$$, где $$X$$ — произвольная точка прямой $$l$$, равновелики.