Упр.746 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. Найдите площадь ромба, сторона которого равна $$39\ \text{см}$$, а разность диагоналей — $$42\ \text{см}$$.

Рассмотрим ромб $$ABCD$$. Его диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам, значит

$$AC=2AO,\quad BD=2BO.$$

По условию

$$AC-BD=42,$$

следовательно,

$$2AO-2BO=42,$$

$$AO-BO=21,$$

$$AO=21+BO.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABO$$:

$$AB^2=AO^2+BO^2.$$

Подставим данные:

$$39^2=(21+BO)^2+BO^2,$$

$$1521=441+42BO+BO^2+BO^2,$$

$$BO^2+21BO-540=0.$$

Найдём корни уравнения:

$$D=21^2+4\cdot 540=2601,$$

$$BO=\frac{-21+51}{2}=15.$$

Тогда

$$AO=21+15=36,$$

$$AC=2\cdot 36=72,\quad BD=2\cdot 15=30.$$

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:

$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}\cdot 72\cdot 30=1080.$$

Ответ

$$1080\ \text{см}^2$$