Упр.745 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 745. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 25 см, а сумма диагоналей — 62 см.

Обозначим точку пересечения диагоналей ромба через $$O$$. Тогда диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам:

$$AC=2AO,\quad BD=2BO.$$

По условию:

$$AC+BD=62,$$

значит

$$2AO+2BO=62,$$

$$AO+BO=31.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABO$$. В нём $$AB=25$$, поэтому по теореме Пифагора:

$$AB^2=AO^2+BO^2.$$

Подставим $$AO=31-BO$$:

$$25^2=(31-BO)^2+BO^2,$$

$$625=961-62BO+2BO^2,$$

$$BO^2-31BO+168=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=31^2-4\cdot168=289,$$

$$BO=\frac{31\pm17}{2}.$$

Получаем $$BO=7$$ или $$BO=24$$. Тогда соответственно $$AO=24$$ или $$AO=7$$. Следовательно, диагонали ромба равны:

$$BD=2BO=14,$$

$$AC=2AO=48.$$

Площадь ромба найдём по формуле:

$$S=\frac{1}{2}AC\cdot BD.$$

Тогда

$$S=\frac{1}{2}\cdot48\cdot14=336.$$

Ответ

$$336\ \text{см}^2$$