Упр.744 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Площадь ромба равна $$120\ \text{см}^2$$, а его диагонали относятся как $$5:12$$. Найдите периметр ромба.

Рассмотрим ромб $$ABCD$$. Его диагонали перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, значит

$$AO=\frac12 AC,\quad BO=\frac12 BD,$$

а площадь ромба выражается формулой

$$S_{ABCD}=\frac12 AC\cdot BD.$$

По условию $$BD:AC=5:12$$, значит можно положить

$$BD=5x,\quad AC=12x.$$

Тогда

$$\frac12\cdot 12x\cdot 5x=120,$$

$$30x^2=120,$$

$$x^2=4,\quad x=2.$$

Следовательно,

$$AC=24,\quad BD=10.$$

Найдём сторону ромба. В прямоугольном треугольнике $$ABO$$:

$$AO=\frac12 AC=12,\quad BO=\frac12 BD=5.$$

По теореме Пифагора:

$$AB^2=AO^2+BO^2,$$

$$AB^2=12^2+5^2=144+25=169,$$

$$AB=13.$$

Тогда периметр ромба равен

$$P_{ABCD}=4AB=4\cdot 13=52.$$

Ответ

$$52\text{ см}$$