Упр.743 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника, диагонали которого перпендикулярны, равна половине их произведения.

Пусть диагонали выпуклого четырёхугольника $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$ и $$AC \perp BD$$.

Тогда четырёхугольник $$ABCD$$ состоит из двух треугольников: $$BAD$$ и $$BCD$$.

В треугольнике $$BAD$$ высота, проведённая к основанию $$BD$$, равна $$AO$$, так как $$AO \perp BD$$. Поэтому

$$S_{BAD}=\frac{1}{2}\cdot BD \cdot AO.$$

Аналогично, в треугольнике $$BCD$$ высота, проведённая к основанию $$BD$$, равна $$CO$$, значит

$$S_{BCD}=\frac{1}{2}\cdot BD \cdot CO.$$

Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей этих треугольников:

$$S_{ABCD}=S_{BAD}+S_{BCD}$$

$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot BD \cdot AO+\frac{1}{2}\cdot BD \cdot CO$$

$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot BD \cdot (AO+CO)$$

Так как $$AO+CO=AC$$, получаем

$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot AC \cdot BD.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD$$