Упр.742 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. Основание равнобедренного треугольника относится к его высоте, опущенной на основание, как $$8:3$$, боковая сторона треугольника равна $$40\ \text{см}$$. Найдите площадь треугольника.

В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, является также медианой. Значит, если обозначить $$BH$$ — высоту, а $$AC$$ — основание, то

$$AH=\frac{1}{2}AC.$$

По условию $$AC:BH=8:3$$, поэтому

$$AC=\frac{8}{3}BH,$$

следовательно,

$$AH=\frac{1}{2}\cdot \frac{8}{3}BH=\frac{4}{3}BH.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABH$$. По теореме Пифагора:

$$AB^2=AH^2+BH^2.$$

Подставим $$AB=40$$ и $$AH=\frac{4}{3}BH$$:

$$40^2=\left(\frac{4}{3}BH\right)^2+BH^2$$

$$1600=\frac{16}{9}BH^2+BH^2=\frac{25}{9}BH^2$$

$$BH^2=576,\quad BH=24.$$

Тогда

$$AH=\frac{4}{3}\cdot 24=32,$$

а основание

$$AC=2AH=64.$$

Теперь найдём площадь треугольника:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BH=\frac{1}{2}\cdot 64\cdot 24=768.$$

Ответ

$$768\ \text{см}^2$$