Упр.741 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 741. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если его периметр равен 54 см, а высота, проведённая к основанию, — 9 см.
Так как треугольник равнобедренный, то высота, проведённая к основанию, является также медианой. Значит, $$AH=HC$$ и $$AC=2AH$$.
Обозначим $$AB=BC=x$$, тогда по периметру:
$$AB+BC+AC=54$$
$$x+x+2AH=54$$
$$x+AH=27,$$
откуда $$AH=27-x$$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABH$$. По теореме Пифагора:
$$AB^2=AH^2+BH^2$$
$$x^2=(27-x)^2+9^2$$
$$x^2=729-54x+x^2+81$$
$$54x=810$$
$$x=15.$$
Тогда
$$AH=27-15=12,$$
$$AC=2AH=24.$$
Теперь найдём площадь треугольника:
$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC \cdot BH$$
$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 24 \cdot 9=108.$$
Ответ
$$108\ \text{см}^2$$