Упр.740 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 740. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит его гипотенузу на отрезки длиной 8 см и 12 см. Найдите площадь треугольника.
Обозначим точки касания окружности со сторонами треугольника через $F$ на $AC$, $E$ на $CB$ и $H$ на $AB$. Тогда по свойству касательных, проведённых из одной точки, имеем:
$$AF=AH=8,\quad BE=BH=12,\quad CF=CE=x.$$
Тогда стороны прямоугольного треугольника равны:
$$AB=AH+BH=8+12=20,$$
$$AC=AF+CF=8+x,$$
$$BC=CE+BE=x+12.$$
По теореме Пифагора:
$$AB^2=AC^2+BC^2,$$
$$20^2=(x+8)^2+(x+12)^2.$$
Раскроем скобки:
$$400=x^2+16x+64+x^2+24x+144,$$
$$2x^2+40x+208=400,$$
$$2x^2+40x-192=0,$$
$$x^2+20x-96=0.$$
Найдём корни уравнения:
$$D=20^2+4\cdot 96=784,$$
$$x=\frac{-20\pm 28}{2}.$$
Положительный корень:
$$x=4.$$
Тогда
$$AC=8+4=12,\quad BC=12+4=16.$$
Площадь прямоугольного треугольника:
$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 16=96.$$
Ответ
$$96\ \text{см}^2$$