Упр.74 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 74. Через каждую вершину треугольника ABC проведена прямая, параллельная противолежащей стороне. Сумма периметров всех образовавшихся параллелограммов равна 100 см. Найдите периметр треугольника ABC.

Обозначим периметры построенных параллелограммов через $$P_{EBCA}$$, $$P_{BFCA}$$ и $$P_{ABCM}$$.

1) В параллелограмме $$EBCA$$ противоположные стороны равны, значит $$EB=AC$$ и $$EA=BC$$. Тогда

$$ P_{EBCA}=EB+BC+CA+EA $$
$$ P_{EBCA}=AC+BC+CA+BC=2AC+2BC. $$

2) В параллелограмме $$BFCA$$ имеем $$BF=AC$$ и $$FC=AB$$. Следовательно,

$$ P_{BFCA}=BF+FC+CA+AB $$
$$ P_{BFCA}=AC+AB+AC+AB=2AC+2AB. $$

3) В параллелограмме $$ABCM$$ противоположные стороны равны: $$CM=AB$$ и $$AM=BC$$. Тогда

$$ P_{ABCM}=AB+BC+CM+AM $$
$$ P_{ABCM}=AB+BC+AB+BC=2AB+2BC. $$

Сложим периметры всех трёх параллелограммов:

$$ P_{EBCA}+P_{BFCA}+P_{ABCM} =(2AC+2BC)+(2AC+2AB)+(2AB+2BC) $$
$$ =4(AB+BC+CA)=4P_{ABC}. $$

По условию эта сумма равна $$100$$ см, значит

$$ 4P_{ABC}=100 $$
$$ P_{ABC}=25. $$

Ответ

$$25\text{ см}$$