Упр.74 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Через каждую вершину треугольника $$ABC$$ проведена прямая, параллельная противолежащей стороне. Сумма периметров всех образовавшихся параллелограммов равна 100 см. Найдите периметр треугольника $$ABC$$.

Обозначим периметры построенных параллелограммов через $$P_{EBCA}$$, $$P_{BFCA}$$ и $$P_{ABCM}$$.

1) В параллелограмме $$EBCA$$ противоположные стороны равны, значит $$EB=AC$$ и $$EA=BC$$. Тогда

$$P_{EBCA}=EB+BC+CA+EA$$
$$P_{EBCA}=AC+BC+CA+BC=2AC+2BC.$$

2) В параллелограмме $$BFCA$$ имеем $$BF=AC$$ и $$FC=AB$$. Следовательно,

$$P_{BFCA}=BF+FC+CA+AB$$
$$P_{BFCA}=AC+AB+AC+AB=2AC+2AB.$$

3) В параллелограмме $$ABCM$$ противоположные стороны равны: $$CM=AB$$ и $$AM=BC$$. Тогда

$$P_{ABCM}=AB+BC+CM+AM$$
$$P_{ABCM}=AB+BC+AB+BC=2AB+2BC.$$

Сложим периметры всех трёх параллелограммов:

$$P_{EBCA}+P_{BFCA}+P_{ABCM} =(2AC+2BC)+(2AC+2AB)+(2AB+2BC)$$
$$=4(AB+BC+CA)=4P_{ABC}.$$

По условию эта сумма равна $$100$$ см, значит

$$4P_{ABC}=100$$
$$P_{ABC}=25.$$

Ответ

$$25\text{ см}$$