Упр.736 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, равна $$h$$, а угол при вершине равен $$\beta$$. Найдите площадь треугольника.

В равнобедренном треугольнике $$\triangle ABC$$ высота $$BH$$, проведённая к основанию $$AC$$, является также биссектрисой и медианой. Поэтому

$$\angle ABH=\frac{1}{2}\angle B=\frac{\beta}{2}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABH$$. Тогда

$$\tg \angle ABH=\frac{AH}{BH}.$$

Подставим известные величины:

$$\tg \frac{\beta}{2}=\frac{AH}{h},$$

откуда

$$AH=h\tg \frac{\beta}{2}.$$

Так как $$BH$$ — медиана, то

$$AC=2AH=2h\tg \frac{\beta}{2}.$$

Теперь найдём площадь треугольника:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC \cdot BH=\frac{1}{2}\cdot 2h\tg \frac{\beta}{2}\cdot h=h^2\tg \frac{\beta}{2}.$$

Ответ

$$h^2\tg \frac{\beta}{2}$$