Упр.735 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 735. Найдите площадь равнобедренного треугольника, боковая сторона которого равна b, а угол при основании равен Альфа.

Пусть $$BH$$ — высота равнобедренного треугольника $$ABC$$, опущенная на основание $$AC$$. Тогда треугольник $$ABH$$ прямоугольный.

В этом треугольнике

$$\sin \angle A=\frac{BH}{AB}$$

так как $$\angle A=\alpha$$ и $$AB=b$$, получаем

$$BH=b\sin \alpha.$$

Аналогично

$$\cos \angle A=\frac{AH}{AB},$$

откуда

$$AH=b\cos \alpha.$$

Так как треугольник $$ABC$$ равнобедренный, то высота $$BH$$ является также медианой, значит

$$AC=2AH=2b\cos \alpha.$$

Теперь найдём площадь треугольника:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot BH\cdot AC.$$

Подставим найденные значения:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot b\sin \alpha \cdot 2b\cos \alpha=b^2\sin \alpha \cos \alpha.$$

Ответ

$$b^2\sin \alpha \cos \alpha$$