Упр.734 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. Высота $$AM$$ треугольника $$ABC$$ делит его сторону $$BC$$ на отрезки $$BM$$ и $$MC$$. Найдите площадь треугольника $$ABC$$, если $$AB=10\sqrt{2}\text{ см}$$, $$AC=26\text{ см}$$, $$\angle B=45^\circ$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABM$$. Так как $$\angle B=45^\circ$$, то

$$\tg \angle B=\frac{AM}{BM}=1,$$

значит, $$AM=BM$$.

По теореме Пифагора в треугольнике $$ABM$$:

$$AB^2=AM^2+BM^2,$$

$$\left(10\sqrt{2}\right)^2=AM^2+AM^2,$$

$$200=2AM^2,$$

$$AM=10\text{ см}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$AMC$$:

$$AC^2=AM^2+CM^2,$$

$$26^2=10^2+CM^2,$$

$$676=100+CM^2,$$

$$CM^2=576,$$

$$CM=24\text{ см}.$$

Тогда

$$BC=BM+CM=10+24=34\text{ см}.$$

Площадь треугольника $$ABC$$ равна

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AM\cdot BC,$$

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 34=170\text{ см}^2.$$

Ответ

$$170\text{ см}^2$$