Упр.733 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. Высота \(BD\) треугольника \(ABC\) делит его сторону \(AC\) на отрезки \(AD\) и \(CD\). Найдите площадь треугольника \(ABC\), если \(BC=\sqrt{37}\) см, \(\angle A=30^\circ\), \(CD=5\) см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BDC$$. По теореме Пифагора:

$$BC^2=BD^2+CD^2$$

$$\left(\sqrt{37}\right)^2=BD^2+5^2$$

$$37=BD^2+25$$

$$BD^2=12,\quad BD=2\sqrt{3}$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABD$$. Так как $$\angle A=30^\circ$$, то

$$\tg A=\frac{BD}{AD}$$

и, с другой стороны,

$$\tg 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Следовательно,

$$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{BD}{AD}$$

$$AD=\frac{BD}{\tg A}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}/3}=6$$

Тогда

$$AC=AD+CD=6+5=11$$

Площадь треугольника $$ABC$$ равна

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD$$

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 11\cdot 2\sqrt{3}=11\sqrt{3}$$

Ответ

$$11\sqrt{3}\ \text{см}^2$$