Упр.73 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. Через произвольную точку основания равнобедренного треугольника проведены прямые, параллельные его боковым сторонам. Докажите, что периметр образовавшегося четырёхугольника равен сумме боковых сторон данного треугольника.

Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный, то $$AB=BC$$ и $$\angle BAC=\angle BCA$$.

Проведём через точку $$M$$ на основании $$AC$$ прямые $$ME \parallel BC$$ и $$MF \parallel AB$$.

Тогда из параллельности прямых $$ME$$ и $$BC$$, а также секущей $$AC$$ получаем:

$$\angle EMA=\angle BCA=\angle BAC.$$

Рассмотрим треугольник $$AEM$$. В нём

$$\angle EAM=\angle EMA,$$

значит, $$\triangle AEM$$ равнобедренный, и поэтому

$$AE=EM.$$

Четырёхугольник $$EBFM$$ — параллелограмм, так как $$EB \parallel MF$$ и $$BF \parallel EM$$. Следовательно,

$$BF=EM,\qquad FM=EB.$$

Тогда периметр четырёхугольника $$EBFM$$ равен

$$P_{EBFM}=EB+BF+FM+EM$$

$$P_{EBFM}=EB+EM+EB+EM$$

$$P_{EBFM}=2(EB+EM).$$

Так как точки $$E$$ и $$F$$ лежат соответственно на сторонах $$AB$$ и $$BC$$, а $$AE=EM$$, то

$$AB=AE+EB,\qquad BC=BF+FC.$$

Из равенств $$BF=EM$$ и $$AE=EM$$ получаем

$$AB+BC=(AE+EB)+(BF+FC).$$

Но в параллелограмме $$EBFM$$ имеем $$BF=EM$$ и $$FM=EB$$, поэтому

$$P_{EBFM}=AB+BC.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$P_{EBFM}=AB+BC.$$