Упр.720 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 720. Докажите, что в выпуклом девятиугольнике найдутся две диагонали, угол между которыми меньше 7°.

Подробный ответ

Число диагоналей выпуклого девятиугольника равно

$$\frac{9(9-3)}{2}=\frac{9\cdot 6}{2}=27.$$

Проведём через одну произвольную точку прямые, параллельные всем диагоналям. Угол между двумя диагоналями равен углу между соответствующими параллельными им прямыми.

Все возможные направления этих прямых разбивают полный угол $$360^\circ$$ на $$27$$ частей. Тогда хотя бы один из получившихся углов не превосходит

$$\frac{360^\circ}{27}=\frac{40^\circ}{3}=13\tfrac{1}{3}^\circ.$$

Но каждая диагональ задаёт две противоположные полупрямые, поэтому достаточно рассматривать только $$27\cdot 2=54$$ направлений. Тогда найдутся две диагонали, угол между которыми не превосходит

$$\frac{360^\circ}{54}=\frac{20^\circ}{3}=6\tfrac{2}{3}^\circ<7^\circ.$$

Следовательно, в выпуклом девятиугольнике найдутся две диагонали, угол между которыми меньше $$7^\circ$$.