Упр.72 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Высоты параллелограмма, проведённые из вершины острого угла, образуют угол $$150^\circ$$, стороны параллелограмма равны $$10\ \text{см}$$ и $$18\ \text{см}$$. Найдите высоты параллелограмма.

Подробный ответ

В параллелограмме смежные углы в сумме дают $$180^\circ$$, а противоположные углы равны. Поэтому если $$\angle EAF=150^\circ$$ — угол между высотами, проведёнными из вершины острого угла, то острый угол параллелограмма равен

$$180^\circ-150^\circ=30^\circ.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AEB$$. Здесь $$AE \perp BC$$, значит $$\angle AEB=90^\circ$$, а $$AB=10$$ см. Тогда

$$\angle ABE=30^\circ,$$

и

$$AE=AB\cdot \sin 30^\circ=10\cdot \frac12=5\text{ см}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$AFD$$. Здесь $$AF \perp CD$$, значит $$\angle AFD=90^\circ$$, а $$AD=18$$ см. Тогда

$$AF=AD\cdot \sin 30^\circ=18\cdot \frac12=9\text{ см}.$$

Следовательно, высоты параллелограмма равны $$5$$ см и $$9$$ см.