Упр.719 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 719. На медиане АМ треугольника АВС отмечена точка D так, что AD : DM = 1 : 3. Через точку D проведена прямая, параллельная стороне АС. В каком отношении эта прямая делит сторону ВС, считая от вершины С?

Подробный ответ

В треугольнике $$ABC$$ точка $$M$$ — середина стороны $$BC$$, так как $$AM$$ — медиана. Значит,

$$BM=MC=\frac{1}{2}BC.$$

Рассмотрим треугольник $$AMC$$. Через точку $$D$$ проведена прямая $$DE \parallel AC$$, где $$E \in MC$$. Тогда треугольники $$MDE$$ и $$MAC$$ подобны, поэтому

$$\frac{MD}{MA}=\frac{ME}{MC}.$$

По условию $$AD:DM=1:3$$, значит

$$AM=AD+DM=4\,AD,$$

следовательно,

$$\frac{MD}{MA}=\frac{3}{4}.$$

Тогда

$$\frac{ME}{MC}=\frac{3}{4}, \qquad ME=\frac{3}{4}MC.$$

Так как $$MC=\frac{1}{2}BC$$, получаем

$$ME=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}BC=\frac{3}{8}BC.$$

Тогда

$$CE=MC-ME=\frac{1}{2}BC-\frac{3}{8}BC=\frac{1}{8}BC.$$

А