Упр.718 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 718. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС медианы АМ и СК пересекаются в точке О. Докажите, что треугольник АОС — равнобедренный, и найдите его боковые стороны, если АМ = 21 см.

Подробный ответ

Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный с основанием $$AC$$, то $$AB=BC$$ и $$\angle A=\angle C$$.

Рассмотрим треугольники $$AKC$$ и $$CMA$$. Так как $$K$$ и $$M$$ — середины сторон $$AB$$ и $$BC$$, то

$$AK=\frac{1}{2}AB,\qquad CM=\frac{1}{2}BC.$$

Но $$AB=BC$$, значит $$AK=CM$$. Кроме того, $$AC$$ — общая сторона, а $$\angle A=\angle C$$. Следовательно,

$$\triangle AKC \cong \triangle CMA$$ по первому признаку равенства треугольников.

Отсюда $$AM=CK$$.

В треугольнике $$ABC$$ отрезки $$AM$$ и $$CK$$ — медианы, значит точка их пересечения $$O$$ делит каждую медиану в отношении $$2:1$$, считая от вершины:

$$AO=\frac{2}{3}AM,\qquad CO=\frac{2}{3}CK.$$

Так как $$AM=CK$$, то $$AO=CO$$. Следовательно, треугольник $$AOC$$ равнобедренный.

Найдём боковые стороны:

$$AO=CO=\frac{2}{3}\cdot 21=14\text{ см}.$$