Упр.717 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

В треугольнике $$ABC$$ известно, что $$\angle C=90^\circ$$, $$AC=7\text{ см}$$, $$BC=24\text{ см}$$, $$AM$$ — биссектриса. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс каждого из углов $$BAC$$ и $$AMC$$.

Подробный ответ

1) Найдём гипотенузу прямоугольного треугольника $$ABC$$:

$$AB^2=AC^2+BC^2$$
$$AB^2=7^2+24^2=49+576=625$$
$$AB=25$$

Тогда для угла $$\angle BAC$$:

$$\sin \angle BAC=\frac{BC}{AB}=\frac{24}{25}$$
$$\cos \angle BAC=\frac{AC}{AB}=\frac{7}{25}$$
$$\tg \angle BAC=\frac{BC}{AC}=\frac{24}{7}$$
$$\ctg \angle BAC=\frac{AC}{BC}=\frac{7}{24}$$

2) Так как $$AM$$ — биссектриса, то по теореме о биссектрисе:

$$\frac{MC}{BM}=\frac{AC}{AB}=\frac{7}{25}$$

Пусть $$MC=7k$$, $$BM=25k$$. Тогда

$$MC+BM=BC$$
$$7k+25k=24$$
$$32k=24$$
$$k=\frac{3}{4}$$

Следовательно,

$$MC=\frac{21}{4}, \qquad BM=\frac{75}{4}$$

Найдём $$AM$$ в прямоугольном треугольнике $$AMC$$:

$$AM^2=AC^2+MC^2$$
$$AM^2=7^2+\left(\frac{21}{4}\right)^2$$
$$AM^2=49+\frac{441}{16}=\frac{1225}{16}$$
$$AM=\frac{35}{4}$$

Теперь для угла $$\angle AMC$$:

$$\sin \angle AMC=\frac{AC}{AM}=\frac{7}{35/4}=\frac{4}{5}$$
$$\cos \angle AMC=\frac{MC}{AM}=\frac{21/4}{35/4}=\frac{3}{5}$$
$$\tg \angle AMC=\frac{AC}{MC}=\frac{7}{21/4}=\frac{4}{3}$$
$$\ctg \angle AMC=\frac{MC}{AC}=\frac{3}{4}$$

Ответ

$$\angle BAC:\ \sin=\frac{24}{25},\ \cos=\frac{7}{25},\ \tg=\frac{24}{7},\ \ctg=\frac{7}{24}$$
$$\angle AMC:\ \sin=\frac{4}{5},\ \cos=\frac{3}{5},\ \tg=\frac{4}{3},\ \ctg=\frac{3}{4}$$