Упр.717 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 717. В треугольнике АВС известно, что угол C = 90°, АС = 7 см, ВС = 24 см, АМ — биссектриса. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс каждого из углов ВАС и АМС.

1) Найдём гипотенузу прямоугольного треугольника $$ABC$$:

$$ AB^2=AC^2+BC^2 $$
$$ AB^2=7^2+24^2=49+576=625 $$
$$ AB=25 $$

Тогда для угла $$\angle BAC$$:

$$ \sin \angle BAC=\frac{BC}{AB}=\frac{24}{25} $$
$$ \cos \angle BAC=\frac{AC}{AB}=\frac{7}{25} $$
$$ \tg \angle BAC=\frac{BC}{AC}=\frac{24}{7} $$
$$ \ctg \angle BAC=\frac{AC}{BC}=\frac{7}{24} $$

2) Так как $$AM$$ — биссектриса, то по теореме о биссектрисе:

$$ \frac{MC}{BM}=\frac{AC}{AB}=\frac{7}{25} $$

Пусть $$MC=7k$$, $$BM=25k$$. Тогда

$$ MC+BM=BC $$
$$ 7k+25k=24 $$
$$ 32k=24 $$
$$ k=\frac{3}{4} $$

Следовательно,

$$ MC=\frac{21}{4}, \qquad BM=\frac{75}{4} $$

Найдём $$AM$$ в прямоугольном треугольнике $$AMC$$:

$$ AM^2=AC^2+MC^2 $$
$$ AM^2=7^2+\left(\frac{21}{4}\right)^2 $$
$$ AM^2=49+\frac{441}{16}=\frac{1225}{16} $$
$$ AM=\frac{35}{4} $$

Теперь для угла $$\angle AMC$$:

$$ \sin \angle AMC=\frac{AC}{AM}=\frac{7}{35/4}=\frac{4}{5} $$
$$ \cos \angle AMC=\frac{MC}{AM}=\frac{21/4}{35/4}=\frac{3}{5} $$
$$ \tg \angle AMC=\frac{AC}{MC}=\frac{7}{21/4}=\frac{4}{3} $$
$$ \ctg \angle AMC=\frac{MC}{AC}=\frac{3}{4} $$

Ответ

$$ \angle BAC:\ \sin=\frac{24}{25},\ \cos=\frac{7}{25},\ \tg=\frac{24}{7},\ \ctg=\frac{7}{24} $$
$$ \angle AMC:\ \sin=\frac{4}{5},\ \cos=\frac{3}{5},\ \tg=\frac{4}{3},\ \ctg=\frac{3}{4} $$