Упр.716 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 716. Докажите, что из всех параллелограммов со сторонами, равными а и b, наибольшую площадь имеет прямоугольник.

Пусть $$ABCD$$ — прямоугольник, а $$EFGH$$ — произвольный параллелограмм, причём $$AB=EH=a$$ и $$AD=FE=b$$.

Площадь прямоугольника равна

$$S_{ABCD}=AB\cdot AD=ab.$$

Опустим из точки $$F$$ перпендикуляр $$FN$$ на прямую $$EH$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$EFN$$ гипотенуза $$EF$$, а значит, $$FN<EF$$. Но $$EF=b$$, следовательно, $$FN<b$$.

Площадь параллелограмма $$EFGH$$ равна произведению основания $$EH$$ на высоту $$FN$$:

$$S_{EFGH}=EH\cdot FN=a\cdot FN.$$

Так как $$FN<b$$, то

$$S_{EFGH}=a\cdot FN<a\cdot b=ab=S_{ABCD}.$$

Значит, площадь любого параллелограмма со сторонами $$a$$ и $$b$$ меньше площади прямоугольника со сторонами $$a$$ и $$b$$. Следовательно, наибольшую площадь имеет прямоугольник.

Ответ

Наибольшую площадь среди всех параллелограммов со сторонами $$a$$ и $$b$$ имеет прямоугольник.