Упр.712 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 712. Меньшая диагональ ромба равна а, а один из углов — 60°. Найдите площадь ромба.

Пусть $$O$$ — точка пересечения диагоналей ромба $$ABCD$$. Тогда диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам, значит

$$BO=\frac{1}{2}BD=\frac{a}{2}, \qquad AC=2AO.$$

В ромбе противоположные углы равны, поэтому

$$\angle A=\angle C=60^\circ.$$

Диагональ $$AC$$ является биссектрисой угла $$A$$, следовательно

$$\angle BAC=\angle BCA=30^\circ.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOB$$. Тогда

$$\sin \angle A=\frac{BO}{AB}.$$

Так как $$\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$$, получаем

$$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a/2}{AB}, \qquad AB=\frac{a}{\sqrt{3}}.$$

По теореме Пифагора в треугольнике $$AOB$$:

$$AB^2=AO^2+BO^2,$$

$$\left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2=AO^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2,$$

$$\frac{a^2}{3}=AO^2+\frac{a^2}{4},$$

$$AO^2=\frac{a^2}{12}, \qquad AO=\frac{a\sqrt{3}}{6}.$$

Тогда

$$AC=2AO=\frac{a\sqrt{3}}{3}.$$

Теперь найдём высоту $$AH$$. В прямоугольном треугольнике $$AHC$$:

$$\sin \angle C=\frac{AH}{AC}.$$

Так как $$\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$$, то

$$AH=AC\cdot \sin 60^\circ=\frac{a\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a}{2}.$$

Площадь ромба равна произведению стороны на высоту:

$$S_{ABCD}=AB\cdot AH=\frac{a}{\sqrt{3}}\cdot \frac{a}{2}=\frac{a^2}{2\sqrt{3}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{6}.$$

Ответ

$$\frac{a^2\sqrt{3}}{6}$$