Упр.710 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 710. Стороны параллелограмма равны 14 см и 20 см, а угол между его высотами, проведёнными из вершины тупого угла, — 45°. Найдите площадь параллелограмма.

Подробный ответ

Рассмотрим прямоугольный $$\triangle BCF$$. Так как $$BF \perp CD$$, а в параллелограмме $$ABCD$$ имеем $$AB \parallel CD$$, то $$BF \perp AB$$. Следовательно, угол между высотами $$BE$$ и $$BF$$ равен углу между прямыми, перпендикулярными сторонам параллелограмма.

По условию $$\angle EBF=45^\circ$$, значит в прямоугольном треугольнике $$BCF$$

$$\angle CBF=90^\circ-45^\circ=45^\circ.$$

Тогда

$$\cos \angle CBF=\frac{BF}{BC}.$$

Подставим значения:

$$BF=BC\cdot \cos 45^\circ=20\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=10\sqrt{2}.$$

Площадь параллелограмма равна произведению стороны на соответствующую высоту:

$$S_{ABCD}=AB\cdot BF.$$

Так как $$AB=14$$, получаем

$$S_{ABCD}=14\cdot 10\sqrt{2}=140\sqrt{2}.$$