Упр.71 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 71. Угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины тупого угла, равен 30°. Найдите периметр параллелограмма, если его высоты равны 4 см и 6 см.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — данный параллелограмм, $$BE$$ и $$BF$$ — его высоты, $$\angle EBF=30^\circ$$, $$BE=4$$ см, $$BF=6$$ см.

Так как $$BE \perp AD$$, а $$BF \perp CD$$, то угол между высотами равен углу между сторонами параллелограмма, перпендикулярными этим высотам. Следовательно, $$\angle A=\angle C=30^\circ$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABE$$. В нём $$\angle BAE=30^\circ$$, значит, катет, лежащий против угла $$30^\circ$$, равен половине гипотенузы:

$$AB=2\cdot BE=2\cdot 4=8\text{ см}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$CBF$$. В нём $$\angle BCF=30^\circ$$, поэтому

$$BC=2\cdot BF=2\cdot 6=12\text{ см}.$$

В параллелограмме противоположные стороны равны, значит, $$CD=AB=8$$ см и $$AD=BC=12$$ см.

Тогда периметр параллелограмма:

$$P_{ABCD}=AB+BC+CD+AD=8+12+8+12=40\text{ см}.$$