Упр.709 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. Угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины тупого угла, равен $$60^\circ$$. Найдите площадь параллелограмма, если его высоты равны 8 см и 12 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BCF$$. Так как $$BF$$ — высота, то $$BF \perp CD$$, а поскольку $$BC \parallel AD$$, то угол между прямыми $$BC$$ и $$BF$$ равен

$$\angle CBF = 90^\circ — \angle EBF = 90^\circ — 60^\circ = 30^\circ.$$

Тогда

$$\cos \angle CBF = \frac{BF}{BC}.$$

Подставим значения:

$$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{12}{BC}.$$

Отсюда

$$BC = \frac{12 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}} = 8\sqrt{3}.$$

В параллелограмме противоположные стороны равны, значит

$$AD = BC = 8\sqrt{3}.$$

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту:

$$S_{ABCD} = AD \cdot BE = 8\sqrt{3} \cdot 8 = 64\sqrt{3}.$$

Ответ

$$64\sqrt{3}\ \text{см}^2$$