Упр.704 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 704. Стороны параллелограмма равны 10 см и 15 см, а одна из высот равна: 1) 6 см; 2) 12 см. Найдите вторую высоту параллелограмма. Сколько решений в каждом случае имеет задача?

В параллелограмме площадь можно выразить через любую сторону и соответствующую ей высоту:

$$S=AD\cdot BE=CD\cdot BF.$$

Так как $$AD=15\text{ см}$$, $$CD=10\text{ см}$$, то

$$15\cdot BE=10\cdot BF.$$

Отсюда

$$BF=\frac{15}{10}BE=\frac{3}{2}BE,$$

или

$$BE=\frac{10}{15}BF=\frac{2}{3}BF.$$

1) Если $$BE=6\text{ см},$$ то

$$BF=\frac{15\cdot 6}{10}=9\text{ см}.$$

Это значение подходит, так как высота к стороне $$CD=10\text{ см}$$ должна быть меньше этой стороны: $$9<10.$$

Если же считать заданной высоту $$BF=6\text{ см},$$ то

$$BE=\frac{10\cdot 6}{15}=4\text{ см}.$$

Это тоже подходит, так как $$4<15.$$

Значит, при высоте $$6\text{ см}$$ задача имеет 2 решения.

2) Если $$BE=12\text{ см},$$ то

$$BF=\frac{15\cdot 12}{10}=18\text{ см},$$

но это невозможно, так как высота к стороне $$CD=10\text{ см}$$ не может быть больше самой стороны: $$18>10.$$

Если же считать заданной высоту $$BF=12\text{ см},$$ то

$$BE=\frac{10\cdot 12}{15}=8\text{ см}.$$

Это возможно, так как $$8<15.$$

Значит, при высоте $$12\text{ см}$$ задача имеет 1 решение.

Ответ

1) $$4\text{ см}$$ или $$9\text{ см}$$; 2) $$8\text{ см}$$. В первом случае — 2 решения, во втором — 1 решение.