Упр.70 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 70. Докажите, что угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины острого угла, равен тупому углу параллелограмма.

Пусть $$AE$$ и $$AF$$ — высоты параллелограмма $$ABCD$$, проведённые из вершины острого угла $$A$$.

Так как $$AE \perp BC$$, а в параллелограмме $$AD \parallel BC$$, то $$AE \perp AD$$. Следовательно,

$$\angle DAE=90^\circ.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ADF$$. Поскольку $$AF \perp CD$$, а $$CD \parallel AB$$, то $$AF \perp AB$$. Угол между прямыми $$AD$$ и $$DF$$ равен углу параллелограмма при вершине $$D$$, поэтому

$$\angle ADF=180^\circ-\angle ADC.$$

Но в параллелограмме соседние углы supplementary, значит

$$\angle ADC=180^\circ-\angle DAB.$$

Тогда

$$\angle ADF=\angle DAB.$$

В прямоугольном треугольнике $$ADF$$ имеем

$$\angle ADF+\angle DAF=90^\circ,$$

откуда

$$\angle DAF=90^\circ-\angle ADF.$$

Теперь найдём угол между высотами:

$$\angle EAF=\angle EAD+\angle DAF.$$

Так как $$\angle EAD=90^\circ$$, получаем

$$\angle EAF=90^\circ+\left(90^\circ-\angle ADF\right)=180^\circ-\angle ADF.$$

Но $$\angle ADF=\angle DAB$$, значит

$$\angle EAF=180^\circ-\angle DAB.$$

А угол $$180^\circ-\angle DAB$$ — это тупой угол параллелограмма.

Следовательно, угол между высотами, проведёнными из вершины острого угла параллелограмма, равен тупому углу параллелограмма.

Ответ

Доказано: $$\angle EAF$$ равен тупому углу параллелограмма.