Упр.695 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 695. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до его стороны, если острый угол ромба равен 30°, а сторона — 8 см.

Подробный ответ

Рассмотрим ромб $$ABDC$$. Его диагонали пересекаются в точке $$O$$ и делятся этой точкой пополам, значит $$BO=CO$$.

Пусть $$OE \perp AB$$, $$OF \perp CD$$, $$BG \perp CD$$. Так как в ромбе $$AB \parallel CD$$, то расстояния от точки $$O$$ до этих сторон равны, следовательно, $$O \in EF$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BDG$$. Угол $$\angle BDG$$ равен острому углу ромба, то есть $$30^\circ$$. Тогда

$$BG=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}\cdot 8=4.$$

В прямоугольнике $$EBGF$$ противоположные стороны равны, значит

$$EF=BG=4.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$COF$$ и $$BOE$$. Имеем:

$$BO=CO,$$

$$\angle BEO=\angle CFO=90^\circ,$$

$$\angle BOE=\angle COF$$ — вертикальные углы.

Следовательно, $$\triangle COF \cong \triangle BOE$$ по гипотенузе и острому углу. Отсюда

$$OE=OF=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}\cdot 4=2.$$

Значит, расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до его стороны равно $$2$$ см.