Упр.693 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 693. Серединный перпендикуляр диагонали BD параллелограмма ABCD пересекает стороны АВ и CD. Продолжения сторон AD и ВС он пересекает в точках М и К соответственно. Определите вид четырёхугольника MBKD.

В параллелограмме $$ABCD$$ имеем $$BC \parallel AD$$. Диагональ $$BD$$ является секущей, значит

$$\angle ADB=\angle CBD.$$

Пусть $$O$$ — точка пересечения серединного перпендикуляра к $$BD$$ с диагональю $$BD$$. Тогда $$BO=DO$$ и $$MK \perp BD$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle MOD$$ и $$\triangle KOB$$:

$$\angle MOD=\angle KOB=90^\circ,$$

$$DO=BO,$$

$$\angle MDO=\angle KBO$$

как накрест лежащие углы при параллельных прямых $$AD \parallel BC$$ и секущей $$BD$$.

Следовательно, $$\triangle MOD \cong \triangle KOB$$ по катету и острому углу. Отсюда

$$MD=KB.$$

В четырёхугольнике $$MBKD$$ стороны $$MD$$ и $$BK$$ равны и параллельны, значит $$MBKD$$ — параллелограмм.

Кроме того, $$MK \perp BD$$, а диагональ $$BD$$ параллелограмма $$MBKD$$. В параллелограмме с перпендикулярными диагоналями все стороны равны, значит $$MBKD$$ — ромб.

Ответ

$$MBKD$$ — ромб.