Упр.692 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 692. Стороны прямоугольника равны а и b. Постройте квадрат, площадь которого равна площади данного прямоугольника.

Подробный ответ

Пусть стороны прямоугольника равны $$a$$ и $$b$$. Построим отрезок $$HG$$ так, чтобы $$HN=a$$, $$NG=b$$. Тогда

$$HG=a+b.$$

Обозначим через $$O$$ середину отрезка $$HG$$. Тогда

$$OH=OG=\frac{a+b}{2}.$$

Проведём окружность с центром в точке $$O$$ и радиусом $$OH$$. В точке $$N$$ восстановим перпендикуляр к прямой $$HG$$ и отметим на нём точку $$M$$, лежащую на окружности.

Так как $$N$$ лежит на окружности с диаметром $$HG$$, то по теореме Фалеса

$$\angle HNG=90^\circ.$$

Из точки $$N$$ на прямой $$HG$$ отложим отрезок $$NK=MN$$. Тогда через точки $$K$$ и $$M$$ проведём окружности радиуса $$MN$$. Их точку пересечения обозначим через $$T$$.

Получим четырёхугольник $$NMTK$$, у которого

$$NM=NK=KT=TM.$$

Кроме того, $$NM \perp NK$$, значит, $$NMTK$$ — квадрат.

Его сторона равна $$MN$$, а площадь равна

$$S_{NMTK}=MN^2.$$

Но в прямоугольном треугольнике $$HNM$$ по построению

$$HN=a,\quad NM=b,$$

поэтому площадь построенного квадрата равна площади прямоугольника:

$$S_{NMTK}=ab.$$

Следовательно, построенный квадрат имеет площадь, равную площади данного прямоугольника.