Упр.691 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 691. Постройте квадрат, площадь которого равна сумме площадей двух данных квадратов.

Подробный ответ

Пусть стороны данных квадратов равны $$a$$ и $$b$$. Тогда площадь искомого квадрата должна быть равна

$$S=a^2+b^2.$$

Построим отрезок длины $$\sqrt{a^2+b^2}$$, а затем на нём квадрат.

Для этого проведём две перпендикулярные прямые и обозначим их пересечение буквой $$H$$. На одной прямой отложим отрезок $$HN=a$$, а на другой — отрезок $$HM=b$$.

В точке $$N$$ восстановим перпендикуляр к прямой $$MN$$ и отложим на нём $$NK=MN$$. Тогда четырёхугольник $$MNKT$$ будет квадратом, если точка $$T$$ выбрана так, что $$MT=NK$$ и $$KT=MN$$.

Проведём окружности с центрами в точках $$M$$ и $$K$$ радиуса $$MN$$. Их точка пересечения $$T$$ задаёт вершину квадрата. Действительно, в четырёхугольнике $$MNKT$$ все стороны равны:

$$MN=NK=KT=TM,$$

а угол $$\angle MNK=90^\circ$$ по построению. Значит, $$MNKT$$ — квадрат.

При этом диагональ $$MK$$ равна

$$MK=\sqrt{MN^2+NK^2}=\sqrt{b^2+b^2}=b\sqrt{2},$$

а сторона построенного квадрата равна

$$\sqrt{a^2+b^2}.$$

Следовательно, площадь построенного квадрата равна

$$\left(\sqrt{a^2+b^2}\right)^2=a^2+b^2,$$

то есть сумме площадей данных квадратов.