Упр.690 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 690. Биссектриса угла прямоугольника делит его диагональ в отношении 1 : 4. Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна 36 см^2.

Пусть стороны прямоугольника $$ABCD$$ равны $$AB=x$$ и $$AD=y$$. Тогда по условию

$$xy=36.$$

Биссектриса угла прямоугольника делит диагональ в отношении, равном отношению прилежащих сторон. Значит, для точки пересечения биссектрисы с диагональю $$BD$$ имеем

$$BE:ED=AB:AD=1:4,$$

то есть

$$\frac{AB}{AD}=\frac{1}{4}.$$

Следовательно, $$AB=\frac{AD}{4}.$$ Подставим в формулу площади:

$$\frac{AD}{4}\cdot AD=36,$$

$$AD^2=144,$$

$$AD=12.$$

Тогда

$$AB=\frac{12}{4}=3.$$

Периметр прямоугольника равен

$$P=2(AB+AD)=2(3+12)=30.$$

Ответ

$$30\text{ см}$$