Упр.69 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. Докажите, что угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины тупого угла, равен острому углу параллелограмма.

Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то $$AD \parallel BC$$. Отрезок $$BE$$ — высота, значит $$BE \perp AD$$. Следовательно, $$BE \perp BC$$, поэтому

$$\angle CBE=\angle AEB=90^\circ.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$CBF$$. В нём

$$\angle BCF+\angle CBF=90^\circ,$$

откуда

$$\angle CBF=90^\circ-\angle C.$$

Теперь в параллелограмме $$ABCD$$ угол между прямыми $$BE$$ и $$BF$$ равен

$$\angle EBF=\angle CBE-\angle CBF.$$

Подставим найденное значение:

$$\angle EBF=90^\circ-(90^\circ-\angle C)=\angle C.$$

Значит, угол между высотами, проведёнными из вершины тупого угла параллелограмма, равен острому углу параллелограмма.

Ответ

$$\angle EBF=\angle C.$$