Упр.689 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Биссектриса угла прямоугольника делит его диагональ в отношении $$2:7$$. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен $$108\ \text{см}$$.

Подробный ответ

Обозначим стороны прямоугольника $$ABCD$$ через $$AB$$ и $$AD$$.

Так как $$ABCD$$ — прямоугольник, то

$$AB=CD,\quad BC=AD.$$

Периметр прямоугольника равен $$108$$ см, значит

$$P_{ABCD}=AB+BC+CD+AD=AB+AD+AB+AD=2AB+2AD=108,$$

откуда

$$AB+AD=54.$$

Пусть биссектриса $$AE$$ угла $$BAD$$ пересекает диагональ $$BD$$ в точке $$E$$. В треугольнике $$BAD$$ биссектриса делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон:

$$\frac{BE}{DE}=\frac{AB}{AD}.$$

По условию $$BE:DE=2:7$$, значит

$$\frac{AB}{AD}=\frac{2}{7},\quad AB=\frac{2}{7}AD.$$

Подставим в равенство $$AB+AD=54$$:

$$\frac{2}{7}AD+AD=54,$$

$$\frac{9}{7}AD=54,$$

$$AD=42.$$

Тогда

$$AB=54-42=12.$$

Теперь найдём площадь прямоугольника:

$$S_{ABCD}=AB\cdot AD=12\cdot 42=504.$$