Упр.686 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 686. Во сколько раз площадь квадрата, описанного около окружности, больше площади квадрата, вписанного в эту окружность?

Подробный ответ

Пусть сторона квадрата $$ABCD$$ равна $$a$$.

Тогда площадь квадрата, описанного около окружности:

$$S_{ABCD}=a^2.$$

Квадрат $$EFGH$$ вписан в эту окружность, значит его диагональ равна диаметру окружности. Диаметр окружности, описанной около квадрата $$ABCD$$, равен его стороне $$a$$, поэтому

$$EG=a.$$

Для квадрата $$EFGH$$ имеем связь между диагональю и стороной:

$$EG=EF\sqrt{2}.$$

Следовательно,

$$EF=\frac{a}{\sqrt{2}}.$$

Тогда площадь вписанного квадрата:

$$S_{EFGH}=EF^2=\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2=\frac{a^2}{2}.$$

Искомое отношение площадей:

$$\frac{S_{ABCD}}{S_{EFGH}}=\frac{a^2}{\frac{a^2}{2}}=2.$$