Упр.685 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 685. Докажите, что если точка Е — середина отрезка AK (рис. 213), то треугольник AKD и прямоугольник ABCD равновелики.

Подробный ответ

1) В прямоугольнике $$ABCD$$ имеем $$\angle B=\angle C=90^\circ$$, значит $$BC \parallel AD$$.

2) Проведём высоту $$KH$$: $$H \in BC$$, $$KH \perp BC$$.

3) Рассмотрим прямоугольные треугольники $$ABE$$ и $$KHE$$:

$$\angle ABE=\angle KHE=90^\circ,$$

$$\angle AEB=\angle KEH$$ — вертикальные.

Следовательно, $$\triangle ABE \sim \triangle KHE$$ по двум углам. Так как $$AE=KE$$, то коэффициент подобия равен $$1$$, значит треугольники равны, и потому

$$S_{ABE}=S_{KHE}.$$

4) Так как $$E$$ — середина отрезка $$AK$$, то $$AE=KE$$. Из равенства треугольников $$ABE$$ и $$KHE$$ получаем, что соответствующие стороны равны, а значит точки $$B$$ и $$H$$ расположены симметрично относительно середины отрезка $$AK$$. Аналогично, из параллельности $$BC \parallel AD$$ и равенства $$AE=KE$$ следует, что точка $$F$$ делит отрезок $$KD$$ пополам, то есть $$KF=DF$$.

5) Рассмотрим прямоугольные треугольники $$DCF$$ и $$KHF$$:

$$\angle DCF=\angle KHF=90^\circ,$$

$$\angle DFC=\angle KFH$$ — вертикальные.

Следовательно, $$\triangle DCF \sim \triangle KHF$$ по двум углам. Так как соответствующие стороны равны, то

$$S_{DCF}=S_{KHF}.$$

6) Прямоугольник $$ABCD$$ и треугольник $$AKD$$ состоят из одинаковых частей:

$$S_{ABCD}=S_{ABE}+S_{AEFD}+S_{DCF},$$

$$S_{AKD}=S_{KHE}+S_{AEFD}+S_{KHF}.$$

Но $$S_{ABE}=S_{KHE}$$ и $$S_{DCF}=S_{KHF}$$, значит

$$S_{ABCD}=S_{AKD}.$$

Следовательно, треугольник $$AKD$$ и прямоугольник $$ABCD$$ равновелики.