Упр.684 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Площадь квадрата $$ABCD$$ равна $$10\ \text{см}^2$$ (рис. 212). Чему равна площадь прямоугольника $$BMKD$$?

В квадрате $$ABCD$$ диагонали равны и перпендикулярны, значит

$$AC=BD,\quad AC\perp BD.$$

Площадь квадрата равна $$10\text{ см}^2$$, поэтому

$$AB^2=10,\quad AB=\sqrt{10}.$$

Найдём диагональ $$BD$$ из прямоугольного треугольника $$ABD$$:

$$BD^2=AB^2+AD^2$$
$$BD^2=10+10=20$$
$$BD=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.$$

Точка $$L$$ — точка пересечения диагоналей квадрата, значит она делит их пополам:

$$CL=\frac12 AC=\frac12 BD=\sqrt{5}.$$

В прямоугольнике $$BMCL$$ противоположные стороны равны, поэтому

$$BM=CL=\sqrt{5}.$$

Тогда площадь прямоугольника $$BMKD$$ равна произведению его сторон:

$$S_{BMKD}=BM\cdot BD=\sqrt{5}\cdot 2\sqrt{5}=10.$$

Ответ

$$10\text{ см}^2$$