Упр.68 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Угол между высотой $$BH$$ параллелограмма $$ABCD$$ и биссектрисой $$BM$$ угла $$ABC$$ равен $$24^\circ$$. Найдите углы параллелограмма.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$HBM$$. Так как $$BH$$ — высота параллелограмма, то $$BH \perp AD$$, а значит $$\angle BHM=90^\circ$$.

По условию $$BM$$ — биссектриса угла $$ABC$$, поэтому $$\angle HBM=24^\circ$$. Тогда в треугольнике $$HBM$$:

$$\angle HBM+\angle HMB=90^\circ$$

$$24^\circ+\angle HMB=90^\circ$$

$$\angle HMB=66^\circ$$

Так как прямые $$AD$$ и $$BC$$ параллельны, а $$BM$$ — секущая, то соответствующие углы равны:

$$\angle CBM=\angle AMB=66^\circ$$

Но $$BM$$ — биссектриса угла $$B$$, значит

$$\angle B=2\angle CBM=2\cdot 66^\circ=132^\circ$$

В параллелограмме противоположные углы равны, а соседние в сумме дают $$180^\circ$$:

$$\angle A+\angle B=180^\circ$$

$$\angle A=180^\circ-132^\circ=48^\circ$$

Следовательно,

$$\angle C=\angle A=48^\circ,\qquad \angle D=\angle B=132^\circ$$

Ответ

$$\angle A=48^\circ,\ \angle B=132^\circ,\ \angle C=48^\circ,\ \angle D=132^\circ$$