Упр.68 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 68. Угол между высотой BH параллелограмма ABCD и биссектрисой ВМ угла ABC равен 24°. Найдите углы параллелограмма.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$HBM$$. Так как $$BH$$ — высота параллелограмма, то $$BH \perp AD$$, а значит $$\angle BHM=90^\circ$$.

По условию $$BM$$ — биссектриса угла $$ABC$$, поэтому $$\angle HBM=24^\circ$$. Тогда в треугольнике $$HBM$$:

$$ \angle HBM+\angle HMB=90^\circ $$

$$ 24^\circ+\angle HMB=90^\circ $$

$$ \angle HMB=66^\circ $$

Так как прямые $$AD$$ и $$BC$$ параллельны, а $$BM$$ — секущая, то соответствующие углы равны:

$$ \angle CBM=\angle AMB=66^\circ $$

Но $$BM$$ — биссектриса угла $$B$$, значит

$$ \angle B=2\angle CBM=2\cdot 66^\circ=132^\circ $$

В параллелограмме противоположные углы равны, а соседние в сумме дают $$180^\circ$$:

$$ \angle A+\angle B=180^\circ $$

$$ \angle A=180^\circ-132^\circ=48^\circ $$

Следовательно,

$$ \angle C=\angle A=48^\circ,\qquad \angle D=\angle B=132^\circ $$

Ответ

$$\angle A=48^\circ,\ \angle B=132^\circ,\ \angle C=48^\circ,\ \angle D=132^\circ$$