Упр.67 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. В параллелограмме $$ABCD$$ известно, что $$AD=12\text{ см}$$, $$AB=3\text{ см}$$, биссектрисы углов $$B$$ и $$C$$ пересекают сторону $$AD$$ в точках $$E$$ и $$F$$ соответственно. Найдите отрезок $$EF$$.

Так как $$AD \parallel BC$$, а $$BE$$ — биссектриса угла $$B$$, то

$$\angle ABE=\angle EBC.$$

Но при секущей $$BE$$ и параллельных прямых $$AD$$ и $$BC$$ имеем

$$\angle AEB=\angle EBC.$$

Следовательно,

$$\angle AEB=\angle ABE,$$

значит, треугольник $$ABE$$ равнобедренный. Тогда

$$AE=AB=3\text{ см}.$$

Аналогично, так как $$AD \parallel BC$$ и $$CF$$ — биссектриса угла $$C$$, получаем

$$\angle DFC=\angle FCB,$$

а также

$$\angle DCF=\angle FCB.$$

Значит,

$$\angle DFC=\angle DCF,$$

и треугольник $$DCF$$ равнобедренный. Поэтому

$$FD=CD.$$

В параллелограмме противоположные стороны равны, значит

$$CD=AB=3\text{ см}.$$

Тогда

$$FD=3\text{ см}.$$

Теперь найдём $$EF$$:

$$AD=AE+EF+FD,$$

$$12=3+EF+3,$$

$$EF=6\text{ см}.$$

Ответ

$$6\text{ см}$$