Упр.665 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 665. На окружности, радиус которой равен 1, отмстили 1000 точек. Докажите, что найдётся точка, принадлежащая данной окружности, сумма расстояний от которой до отмеченных точек больше 1000.

Подробный ответ

Обозначим отмеченные точки через $$A_1, A_2, \ldots, A_{1000}.$$ Проведём диаметр $$CD$$ данной окружности так, чтобы его концы не совпадали ни с одной из отмеченных точек.

Для любой точки $$A_i$$ на окружности рассмотрим треугольники $$CA_iB$$ и $$BA_iD$$, где $$B$$ — произвольная точка окружности. По неравенству треугольника для треугольника $$CA_iB$$ имеем

$$CA_i+BA_i>CB.$$

Так как радиус окружности равен $$1$$, то диаметр равен $$2$$, значит

$$CB=2.$$

Сложим такие неравенства для всех отмеченных точек:

$$ (BA_1+\cdots+BA_{1000})+(CA_1+\cdots+CA_{1000}) > 1000\cdot CB = 2000. $$

Следовательно, хотя бы одна из сумм

$$BA_1+\cdots+BA_{1000}$$

или

$$CA_1+\cdots+CA_{1000}$$

больше $$1000$$.

Значит, найдётся точка на окружности, сумма расстояний от которой до всех отмеченных точек больше $$1000$$.