Упр.664 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Биссектриса угла $$A$$ треугольника $$ABC$$ (угол $$C=90^\circ$$) делит катет $$BC$$ на отрезки длиной $$6\ \text{см}$$ и $$10\ \text{см}$$. Найдите радиус окружности, которая проходит через точку $$A$$, точку $$C$$ и точку пересечения данной биссектрисы с катетом $$BC$$.

Подробный ответ

Обозначим точку пересечения биссектрисы $$AD$$ с катетом $$BC$$ через $$D$$. По условию $$CD=6$$ см, $$BD=10$$ см, значит

$$BC=CD+BD=6+10=16.$$

Так как $$AD$$ — биссектриса угла $$A$$ треугольника $$ABC$$, то по теореме о биссектрисе

$$\frac{CD}{BD}=\frac{AC}{AB}.$$

Подставим данные:

$$\frac{6}{10}=\frac{AC}{AB}, \qquad \frac{3}{5}=\frac{AC}{AB},$$

откуда

$$AB=\frac{5}{3}AC.$$

Треугольник $$ABC$$ прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора

$$AB^2=AC^2+BC^2.$$

Подставим $$AB=\frac{5}{3}AC$$ и $$BC=16$$:

$$\left(\frac{5}{3}AC\right)^2=AC^2+16^2,$$
$$\frac{25}{9}AC^2=AC^2+256,$$
$$\frac{16}{9}AC^2=256,$$
$$AC^2=144,$$
$$AC=12.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACD$$. В нём

$$AD^2=AC^2+CD^2=12^2+6^2=144+36=180,$$
$$AD=6\sqrt{5}.$$

Так как $$\angle ACD=90^\circ$$, то точка $$C$$ лежит на окружности с диаметром $$AD$$. Следовательно, искомая окружность имеет диаметр $$AD$$, а её радиус равен половине диаметра:

$$R=\frac{AD}{2}=3\sqrt{5}.$$