Упр.663 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 663. Медиана и высота прямоугольного треугольника, проведённые к гипотенузе, равны соответственно 13 см и 12 см. Найдите периметр данного треугольника.
1) Рассмотрим прямоугольный треугольник $$HMC$$. По теореме Пифагора:
$$CM^2=CH^2+HM^2$$
$$13^2=12^2+HM^2$$
$$169=144+HM^2$$
$$HM^2=25,\quad HM=5.$$
2) В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Значит,
$$CM=AM=BM=13,$$
откуда
$$AB=AM+BM=26.$$
3) Найдём катет $$AC$$. Так как точки $$A, H, M$$ лежат на одной прямой, то
$$AH=AM-HM=13-5=8.$$
В прямоугольном треугольнике $$AHC$$:
$$AC^2=AH^2+CH^2$$
$$AC^2=8^2+12^2$$
$$AC^2=64+144=208,$$
$$AC=4\sqrt{13}.$$
4) Теперь найдём второй катет $$BC$$ из треугольника $$ABC$$:
$$AB^2=AC^2+BC^2$$
$$26^2=(4\sqrt{13})^2+BC^2$$
$$676=208+BC^2$$
$$BC^2=468,$$
$$BC=6\sqrt{13}.$$
Тогда периметр треугольника:
$$P_{ABC}=AB+BC+AC=26+6\sqrt{13}+4\sqrt{13}=26+10\sqrt{13}.$$
Ответ
$$26+10\sqrt{13}\text{ см}.$$