Упр.661 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 661. Докажите, что если углы выпуклого пятиугольника равны, то он не имеет параллельных сторон.

Сумма внутренних углов выпуклого пятиугольника равна

$$180^\circ(n-2)=180^\circ\cdot 3=540^\circ.$$

Так как все углы пятиугольника равны, то

$$\angle A=\angle B=\angle C=\angle D=\angle E,$$

следовательно,

$$5\angle A=540^\circ,$$

откуда

$$\angle A=108^\circ.$$

Построим отрезки $$MK$$ и $$NK$$, где $$M\in CD,$$ $$N\in DE,$$ $$K\in AB.$$

Рассмотрим четырёхугольник $$BCMK$$. В нём сумма углов равна $$360^\circ$$, значит

$$\angle B+\angle C+\angle CMK+\angle BKM=360^\circ.$$

Подставим значения:

$$108^\circ+108^\circ+\angle CMK+\angle BKM=360^\circ,$$

откуда

$$\angle CMK+\angle BKM=144^\circ.$$

Если бы $$CD \parallel AB,$$ то при секущей $$MK$$ сумма внутренних односторонних углов была бы равна $$180^\circ$$, то есть

$$\angle CMK+\angle BKM=180^\circ.$$

Но получено $$144^\circ$$, значит, $$CD \not\parallel AB.$$

Аналогично для четырёхугольника $$AKNE$$ имеем

$$\angle A+\angle K+\angle N+\angle E=360^\circ,$$

то есть

$$108^\circ+\angle K+\angle N+108^\circ=360^\circ,$$

откуда

$$\angle AKN+\angle ENK=144^\circ.$$

Следовательно, $$DE \not\parallel AB.$$

Аналогично доказывается, что $$BC \not\parallel DE,$$ $$BC \not\parallel AE,$$ $$CD \not\parallel AE.$$

Таким образом, у выпуклого пятиугольника с равными углами нет параллельных сторон.

Ответ

Пятиугольник с равными углами не имеет параллельных сторон.