Упр.660 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 660. Докажите, что если углы выпуклого шестиугольника равны, то его стороны образуют три пары параллельных сторон.

Рассмотрим выпуклый шестиугольник $$ABCDEF$$. Так как все его углы равны, то каждый из них равен

$$\angle A+\angle B+\angle C+\angle D+\angle E+\angle F=180^\circ\cdot(6-2)=720^\circ,$$

следовательно,

$$6\angle A=720^\circ,\qquad \angle A=120^\circ.$$

Аналогично получаем:

$$\angle B=\angle C=\angle D=\angle E=\angle F=120^\circ.$$

Построим отрезок $$MN$$ так, что $$M\in DE$$, $$N\in AB$$.

Рассмотрим пятиугольник $$BCD MN$$. Сумма его внутренних углов равна

$$180^\circ\cdot(5-2)=540^\circ.$$

Тогда

$$\angle B+\angle C+\angle D+\angle DMN+\angle BNM=540^\circ,$$

то есть

$$120^\circ+120^\circ+120^\circ+\angle DMN+\angle BNM=540^\circ,$$

откуда

$$\angle DMN+\angle BNM=180^\circ.$$

Следовательно, прямые $$AB$$ и $$DE$$ параллельны, так как при секущей $$MN$$ сумма внутренних односторонних углов равна $$180^\circ$$.

Аналогично, рассматривая соответствующие углы при других сторонах шестиугольника, получаем:

$$BC \parallel EF,\qquad CD \parallel AF.$$

Таким образом, стороны выпуклого шестиугольника образуют три пары параллельных сторон.

Ответ

$$AB \parallel DE,\quad BC \parallel EF,\quad CD \parallel AF.$$