Упр.66 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. Биссектриса угла $$B$$ параллелограмма $$ABCD$$ пересекает сторону $$CD$$ в точке $$K$$ так, что отрезок $$CK$$ в $$5$$ раз больше отрезка $$KD$$. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен $$88\ \text{см}$$.

Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то $$AB \parallel CD$$. Биссектриса $$BK$$ угла $$B$$ пересекает сторону $$CD$$ в точке $$K$$, значит

$$\angle ABK=\angle CBK.$$

Поскольку $$AB \parallel CD$$, а прямая $$BK$$ — секущая, то

$$\angle ABK=\angle CKB.$$

Следовательно,

$$\angle CBK=\angle CKB,$$

то есть треугольник $$CBK$$ равнобедренный, и потому

$$BC=CK.$$

По условию $$CK=5KD$$, значит

$$BC=5KD.$$

Кроме того,

$$CD=CK+KD=5KD+KD=6KD.$$

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому

$$AB=CD=6KD,\qquad AD=BC=5KD.$$

Периметр параллелограмма равен

$$P_{ABCD}=AB+BC+CD+AD,$$

значит

$$6KD+5KD+6KD+5KD=88,$$

$$22KD=88,$$

$$KD=4.$$

Тогда

$$BC=5\cdot 4=20,$$

$$AB=6\cdot 4=24.$$

Следовательно, стороны параллелограмма равны $$20$$ см и $$24$$ см.

Ответ

$$BC=AD=20\text{ см},\quad AB=CD=24\text{ см}.$$