Упр.657 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 657. Докажите, что если все углы многоугольника, описанного около окружности, равны, то и все его стороны также равны.

Подробный ответ

Пусть многоугольник $$A_1A_2\dots A_n$$ описан около окружности с центром $$O$$. Тогда $$O$$ — точка пересечения биссектрис его углов, а расстояния от центра окружности до всех сторон равны радиусу $$R$$.

Рассмотрим треугольники $$OA_1A_2$$, $$OA_2A_3$$, …, $$OA_nA_1$$. Так как все углы многоугольника равны, то и соответствующие углы при вершинах этих треугольников равны. Следовательно, биссектрисы углов проходят через центр окружности, а перпендикуляры из $$O$$ к сторонам являются радиусами окружности.

Обозначим точки касания окружности со сторонами $$A_1A_2, A_2A_3, \dots, A_nA_1$$ через $$E_1, E_2, \dots, E_n$$. Тогда

$$OE_1=OE_2=\dots=OE_n=R,$$

и, поскольку радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, имеем

$$OE_1\perp A_1A_2,\quad OE_2\perp A_2A_3,\quad \dots,\quad OE_n\perp A_nA_1.$$

Рассмотрим треугольник $$OA_1A_2$$. Он равнобедренный, так как $$OA_1=OA_2$$. Прямая $$OE_2$$, проведённая к основанию $$A_1A_2$$, является и высотой, и медианой. Значит,

$$A_1E_2=E_2A_2.$$

Тогда

$$A_1A_2=2A_2E_2.$$

Аналогично для треугольника $$OA_2A_3$$ получаем

$$A_2A_3=2A_2E_2.$$

Следовательно,

$$A_1A_2=A_2A_3.$$

Точно так же, сравнивая соседние стороны, получаем

$$A_2A_3=A_3A_4=\dots=A_nA_1.$$

Значит, все стороны многоугольника равны.